Задача 77498. Исследование тригонометрических функций

Шаг 1. Найдём производную

Для функции $y = 12\sin x - 6\sqrt{3}x + \sqrt{3}\pi + 6$ берём производную: $$y' = 12\cos x - 6\sqrt{3}$$

Производная линейной части $-6\sqrt{3}x$ равна $-6\sqrt{3}$ (постоянная), производная константы $\sqrt{3}\pi + 6$ равна нулю.

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$12\cos x - 6\sqrt{3} = 0$$ $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

В интервале $[0; \frac{\pi}{2}]$ это уравнение имеет одно решение: $x = \frac{\pi}{6}$.

Шаг 3. Определим тип экстремума

Проверим знак производной:

• При $x \in [0; \frac{\pi}{6})$: $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому $y' > 0$ — функция растёт.
• При $x \in (\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]$: $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает.

Значит, $x = \frac{\pi}{6}$ — точка максимума.

Шаг 4. Вычислим значение в критической точке

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 12\sin\frac{\pi}{6} - 6\sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{6} + \sqrt{3}\pi + 6$$ $$= 12 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3}\pi + \sqrt{3}\pi + 6$$ $$= 6 + 6 = 12$$

Теоретически нужно также проверить значения на концах отрезка, но поскольку найденная точка — максимум на интервале, а функция убывает до конца отрезка, наибольшее значение достигается именно в критической точке.