Задание 12 ЕГЭ: исследование частных при поиске экстремумов функции

О чём эта подтема

В задании 12 часто встречаются функции, заданные как частное — то есть в виде дроби, где в числителе стоит многочлен, а в знаменателе — переменная или другой многочлен. Например:

$$y = -\dfrac{x^2+289}{x}$$

Такие функции выглядят сложнее, чем обычные многочлены, но на самом деле решаются даже проще, если знать один приём: почленное деление. Вместо того чтобы дифференцировать дробь целиком по формуле производной частного, гораздо удобнее сначала разбить её на сумму простых слагаемых, а затем работать с производной суммы — она находится намного быстрее и с меньшим числом ошибок.

Задача этой подтемы — научиться безопасно и быстро находить точки экстремума (максимума или минимума) у функций такого вида, не путаясь в знаках и не забывая про область определения.

Что нужно знать

1. Область определения. Если в знаменателе стоит переменная (например, $x$), то $x \neq 0$ обязательно исключается из области определения. Это точка разрыва, а не критическая точка функции.

2. Приём почленного деления. Дробь вида $\dfrac{ax^2+b}{x}$ раскладывается так: $$\dfrac{ax^2+b}{x} = ax + \dfrac{b}{x}.$$ После этого функция превращается в сумму слагаемых, каждое из которых легко дифференцировать по отдельности.

3. Правила дифференцирования степенной функции. Нужно помнить: $$(x^n)' = nx^{n-1}, \qquad \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}.$$

4. Критические точки. Это точки, где производная равна нулю или не существует, но при этом сама точка входит в область определения функции. У функций вида $ax + \dfrac{b}{x}$ производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения самой функции, поэтому критическими точками будут только нули производной.

5. Определение характера экстремума по знаку производной. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума. Если с минуса на плюс — точка минимума.

6. Влияние общего знака минус. Если перед всей дробью стоит знак минус, экстремумы функции "переворачиваются": там, где у исходной (без минуса) функции был бы минимум, у функции со знаком минус будет максимум, и наоборот. Проще всего не рассуждать абстрактно, а всегда доводить дело до реальной проверки знаков производной.

7. Симметрия относительно начала координат. Функции вида $y = ax + \dfrac{b}{x}$ являются нечётными: $y(-x) = -y(x)$. Из-за этого критические точки часто идут парами $x_0$ и $-x_0$, но при этом одна из них может быть точкой максимума, а другая — точкой минимума (в зависимости от того, на какой части области определения она находится — при $x>0$ или при $x<0$).

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Найти область определения функции — исключить точки, где знаменатель обращается в ноль.

Шаг 2. Если возможно, упростить дробь почленным делением, превратив её в сумму степенных слагаемых.

Шаг 3. Найти производную полученного выражения, используя стандартные правила дифференцирования.

Шаг 4. Найти критические точки — решить уравнение $y'=0$ относительно $x$, учитывая, что решения должны входить в область определения.

Шаг 5. Определить знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения. Для этого достаточно подставить любое пробное значение $x$ из каждого интервала в выражение производной и посмотреть на знак результата.

Шаг 6. Сделать вывод: если производная меняет знак с $+$ на $-$, точка — максимум; если с $-$ на $+$ — минимум. Записать в ответ либо саму точку $x_0$ (если спрашивают точку экстремума), либо значение $y(x_0)$ (если спрашивают значение функции — важно не перепутать эти два вопроса).

Разбор примера

Пример 1. Найдите точку максимума функции $$y = -\dfrac{x^2+289}{x}.$$

Шаг 1. Область определения. Знаменатель $x$ не должен быть равен нулю, значит $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Шаг 2. Упрощение. Разделим числитель почленно на знаменатель: $$y = -\left(\dfrac{x^2}{x} + \dfrac{289}{x}\right) = -\left(x + \dfrac{289}{x}\right) = -x - \dfrac{289}{x}.$$

Шаг 3. Производная. $$y' = -1 - 289\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = -1 + \dfrac{289}{x^2}.$$

Шаг 4. Критические точки. Решим уравнение $y' = 0$: $$-1 + \dfrac{289}{x^2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{289}{x^2} = 1 \quad \Longrightarrow \quad x^2 = 289 \quad \Longrightarrow \quad x = 17 \ \text{или} \ x = -17.$$

Обе точки входят в область определения, значит обе — критические.

Шаг 5. Знаки производной. Область определения разбита точками $-17, 0, 17$ на четыре интервала: $(-\infty; -17)$, $(-17; 0)$, $(0; 17)$, $(17; +\infty)$.

Подставим пробные значения в $y' = -1 + \dfrac{289}{x^2}$:

• При $x = -20$: $x^2 = 400 > 289$, значит $\dfrac{289}{400} < 1$, следовательно $y' < 0$.
• При $x = -1$: $x^2 = 1 < 289$, значит $\dfrac{289}{1} > 1$, следовательно $y' > 0$.
• При $x = 1$: аналогично $y' > 0$.
• При $x = 20$: $x^2 = 400 > 289$, следовательно $y' < 0$.

Шаг 6. Вывод. На интервале $(0; 17)$ производная положительна (функция возрастает), на интервале $(17; +\infty)$ производная отрицательна (функция убывает). Значит при переходе через $x=17$ знак меняется с $+$ на $-$ — это точка максимума.

Точно так же при переходе через $x = -17$ знак меняется с $-$ на $+$ — это точка минимума (она относится к другой, отрицательной части области определения).

Ответ на вопрос про точку максимума: $x = 17$.

Пример 2. Найдите точку минимума функции $$y = -\dfrac{x^2+1}{x}.$$

Решается по той же схеме, только числа другие.

Упрощение: $$y = -x - \dfrac{1}{x}.$$

Производная: $$y' = -1 + \dfrac{1}{x^2}.$$

Критические точки: $$-1 + \dfrac{1}{x^2} = 0 \Longrightarrow x^2 = 1 \Longrightarrow x = 1 \ \text{или} \ x = -1.$$

Знаки производной (аналогично примеру 1, только границы теперь $\pm 1$):

• При $x = -2$: $x^2 = 4 > 1$, значит $\dfrac{1}{4} < 1$, $y' < 0$.
• При $x = -0{,}5$: $x^2 = 0{,}25 < 1$, значит $\dfrac{1}{0{,}25} = 4 > 1$, $y' > 0$.
• При $x = 0{,}5$: аналогично $y' > 0$.
• При $x = 2$: $x^2 = 4 > 1$, $y' < 0$.

Вывод. На интервале $(-\infty; -1)$ производная отрицательна, на интервале $(-1; 0)$ — положительна. Значит при переходе через $x = -1$ знак меняется с $-$ на $+$ — это точка минимума.

(При переходе через $x=1$ знак меняется с $+$ на $-$ — это точка максимума, но в задаче спрашивали именно минимум.)

Ответ: точка минимума $x = -1$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: если функция имеет вид $y = -ax - \dfrac{b}{x}$ с положительными $a$ и $b$, то на положительной полуоси всегда будет максимум в точке $x_0 = \sqrt{b/a}$, а на отрицательной полуоси — минимум в точке $-x_0$. Знание этой закономерности позволяет быстро проверять себя, но при решении на экзамене всё равно стоит явно проверять знаки производной, чтобы не ошибиться, если условие или знаки в задаче будут другими.

Типичные ошибки

• Забывают об области определения. Точка $x=0$ не входит в область определения функции, но иногда её по ошибке включают в список критических точек или забывают исключить при анализе интервалов.

• Дифференцируют дробь по формуле производной частного, не упростив её. Это не ошибка сама по себе, но резко увеличивает риск арифметической ошибки — легче потерять знак или неправильно раскрыть скобки. Почленное деление почти всегда быстрее и надёжнее.

• Теряют знак минус перед всей дробью. Если функция записана как $y = -\dfrac{x^2+289}{x}$, а не $y = \dfrac{x^2+289}{x}$, то характер экстремумов меняется на противоположный. Нужно всегда сохранять минус при упрощении и дифференцировании, а не отбрасывать его "по привычке".

• Путают точку экстремума со значением функции в этой точке. Если спрашивают точку максимума, в ответ пишут $x_0$, а не $y(x_0)$. Внимательно перечитывайте условие: "найдите точку максимума" и "найдите наибольшее значение функции" — это разные вопросы с разными ответами.

• Определяют тип экстремума "на глаз", без проверки знаков производной. Особенно опасно при нечётных функциях: интуитивно кажется, что если одна точка — максимум, то симметричная точка автоматически минимум, и наоборот. Это действительно так для функций такого типа, но лучше явно проверить знаки хотя бы на одной паре точек, чтобы не запомнить правило неправильно.

• Ошибка в вычислении производной дробного слагаемого. Часто путают знак: $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, а не $+\dfrac{1}{x^2}$. Эта ошибка сразу меняет все дальнейшие вычисления.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как приступать к вычислениям, внимательно прочитайте вопрос: нужна точка экстремума (значение $x$) или значение функции в этой точке (значение $y$). Это самая частая причина, по которой правильно решённая задача получает неверный ответ.

Всегда фиксируйте область определения функции в самом начале решения — это займёт одну строку, но убережёт от включения посторонних точек в список критических.

При работе с дробями вида $\dfrac{ax^2+b}{x}$ сразу переходите к почленному делению — это экономит время и снижает вероятность арифметической ошибки по сравнению с применением формулы производной частного.

После нахождения критических точек не ленитесь подставить пробное значение из каждого интервала в производную — не надейтесь на память о том, "где должен быть максимум, а где минимум". Особенно если в условии присутствует общий знак минус перед дробью или нестандартные коэффициенты.

Если в задаче даны похожие по структуре примеры (сумма квадрата переменной и константы, делённая на переменную, взятая со знаком минус), держите в голове общий шаблон: на положительной полуоси такая функция имеет максимум, на отрицательной — минимум, в точках $\pm\sqrt{b/a}$. Это помогает быстро прикинуть ответ и проверить себя, но полное решение с проверкой знаков производной всё равно нужно оформить на бумаге для уверенности в результате.