Задача 77474. Исследование частных

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, найдём критические точки через производную и проверим значения на концах.

Шаг 1. Производная

$$y' = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2}$$

Производная найдена по правилам дифференцирования суммы и частного.

Шаг 2. Критические точки

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю: $$x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3$$

На отрезке $[-4; -1]$ лежит только $x = -3$.

Шаг 3. Анализ знаков производной

Для $x \in [-4; -3)$: $x^2 > 9$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает.

Для $x \in (-3; -1]$: $x^2 < 9$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает.

Это означает, что $x = -3$ — точка локального максимума на отрезке.

Шаг 4. Вычисление значений

Проверим значение в критической точке и на концах:

$$y(-3) = -3 + \frac{9}{-3} = -3 - 3 = -6$$

$$y(-4) = -4 + \frac{9}{-4} = -4 - 2,25 = -6,25$$

$$y(-1) = -1 + \frac{9}{-1} = -1 - 9 = -10$$

Наибольшее значение: $-6$.