Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование частных

Область определения: $x \neq 0$.

Найдём производную. Представим функцию как $y = -\left(x + \frac{1}{x}\right)$. Используя правило дифференцирования суммы и степенной функции:

$$y' = -\left(1 - \frac{1}{x^2}\right) = -1 + \frac{1}{x^2} = \frac{1 - x^2}{x^2}$$

Найдём критические точки. Приравняем числитель к нулю (знаменатель никогда не равен нулю в области определения):

$$1 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = -1$$

Определим знаки производной:

• При $x < -1$: $(1 - x^2) < 0$ и $x^2 > 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает)
• При $-1 < x < 0$: $(1 - x^2) > 0$ и $x^2 > 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $0 < x < 1$: $(1 - x^2) > 0$ и $x^2 > 0$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $x > 1$: $(1 - x^2) < 0$ и $x^2 > 0$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает)

В точке $x = -1$ производная меняет знак с отрицательного на положительный — это точка минимума на интервале $(-\infty, 0)$.