Задача 77501. Исследование частных

Шаг 1. Находим производную.

Для функции $y = -\frac{x}{x^2+1}$ используем правило дифференцирования частного и того, что перед дробью стоит минус:

$$y' = -\left(\frac{x}{x^2+1}\right)' = -\frac{(x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = -\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = -\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}$$

В числителе вынесли минус: $-(1-x^2) = x^2-1$.

Шаг 2. Приравниваем производную к нулю.

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю (знаменатель всегда положителен):

$$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$$

Получили две критические точки.

Шаг 3. Определяем знаки производной.

• При $x < -1$: $(x^2-1) > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция растёт
• При $-1 < x < 1$: $(x^2-1) < 0$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает
• При $x > 1$: $(x^2-1) > 0$, поэтому $y' > 0$ — функция растёт

Шаг 4. Выбираем точку минимума.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус — локальный максимум.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс — локальный минимум.

Точка минимума: $x = 1$.