Задача 77471. Исследование частных

Шаг 1. Область определения

Функция $y = \frac{16}{x} + x + 3$ определена при $x \neq 0$.

Шаг 2. Вычислим производную

Производная суммы равна сумме производных: $$y' = \left(\frac{16}{x}\right)' + (x)' + (3)' = -\frac{16}{x^2} + 1 + 0 = 1 - \frac{16}{x^2}$$

Здесь мы использовали, что $(x^{-1})' = -x^{-2}$, то есть $\left(\frac{16}{x}\right)' = -\frac{16}{x^2}$.

Шаг 3. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$1 - \frac{16}{x^2} = 0$$ $$\frac{16}{x^2} = 1$$ $$x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$

Шаг 4. Определим знаки производной

• При $x < -4$: возьмём $x = -5$. Тогда $y' = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} > 0$ (функция возрастает).
• При $-4 < x < 0$: возьмём $x = -1$. Тогда $y' = 1 - \frac{16}{1} = -15 < 0$ (функция убывает).
• При $0 < x < 4$: возьмём $x = 1$. Тогда $y' = 1 - 16 = -15 < 0$ (функция убывает).
• При $x > 4$: возьмём $x = 5$. Тогда $y' = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} > 0$ (функция возрастает).

Шаг 5. Вывод

В точке $x = -4$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, то есть функция переходит от возрастания к убыванию. Это точка максимума.

В точке $x = 4$ производная меняет знак с отрицательного на положительный — это точка минимума.