Задача 129965. Исследование частных

Шаг 1. Область определения Функция определена при $x \neq 0$.

Шаг 2. Найдём производную Дифференцируем каждый член: $$y' = -\frac{98}{x^2} + 2$$

Производная первого слагаемого: $\left(\frac{98}{x}\right)' = -\frac{98}{x^2}$. Производная $2x$ равна 2, константа 15 даёт ноль.

Шаг 3. Найдём критические точки Приравняем производную к нулю: $$-\frac{98}{x^2} + 2 = 0$$ $$2 = \frac{98}{x^2}$$ $$x^2 = 49$$ $$x = \pm 7$$

Шаг 4. Определим знаки производной

• При $x < -7$: $x^2 > 49$, поэтому $\frac{98}{x^2} < 2$, следовательно, $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $-7 < x < 0$: $x^2 < 49$, поэтому $\frac{98}{x^2} > 2$, следовательно, $y' < 0$ (функция убывает)
• При $0 < x < 7$: $x^2 < 49$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает)
• При $x > 7$: $x^2 > 49$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает)

Шаг 5. Вывод В точке $x = -7$ производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума. В точке $x = 7$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.