Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование частных

Шаг 1. Найдём производную функции

Дана функция $y = -\frac{x^2 + 289}{x}$. Перепишем её для удобства: $$y = -\left(x + \frac{289}{x}\right)$$

Возьмём производную: $$y' = -\left(1 - \frac{289}{x^2}\right) = \frac{289 - x^2}{x^2}$$

Для дроби используем правило: производная $\frac{u}{v} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Или проще — раскроем скобки и дифференцируем почленно.

Шаг 2. Найдём критические точки

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю: $$289 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 289$$ $$x = 17 \text{ или } x = -17$$

Оба значения входят в область определения функции (все $x \neq 0$).

Шаг 3. Определим знаки производной

Анализируем $y' = \frac{289 - x^2}{x^2}$:

• При $x \in (-17, 0)$ или $x \in (0, 17)$: числитель $289 - x^2 > 0$, знаменатель $x^2 > 0$ → $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $x < -17$ или $x > 17$: числитель $289 - x^2 < 0$, знаменатель $x^2 > 0$ → $y' < 0$ (функция убывает)

Шаг 4. Определим максимум

На интервале $(0, +\infty)$ функция возрастает до точки $x = 17$, потом убывает. Это точка максимума в этой области.

На интервале $(-\infty, 0)$ точка $x = -17$ — также локальный максимум, но при анализе обеих ветвей именно $x = 17$ даёт абсолютный максимум по значению функции.