Задача 77470. Исследование частных

Исследуем функцию $y = \frac{x^2 + 25}{x}$ на отрезке $[-10; -1]$.

Шаг 1. Найдём производную.

Перепишем функцию: $y = x + \frac{25}{x}$. Тогда $$y' = 1 - \frac{25}{x^2} = \frac{x^2 - 25}{x^2}.$$ Производная существует на всём отрезке (так как $x \neq 0$).

Шаг 2. Найдём критические точки.

Уравнение $y' = 0$ даёт $x^2 - 25 = 0$, откуда $x = 5$ или $x = -5$. На отрезке $[-10; -1]$ лежит только $x = -5$.

Шаг 3. Проверим знак производной.

На интервале $[-10; -5)$: $x^2 > 25$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает.

На интервале $(-5; -1]$: $x^2 < 25$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает.

Это означает, что $x = -5$ — точка локального максимума.

Шаг 4. Вычислим значения в критической точке и на концах отрезка.

$$y(-10) = \frac{100 + 25}{-10} = \frac{125}{-10} = -12,5$$

$$y(-5) = \frac{25 + 25}{-5} = \frac{50}{-5} = -10$$

$$y(-1) = \frac{1 + 25}{-1} = \frac{26}{-1} = -26$$

Шаг 5. Сравним значения.

Из трёх чисел $-12,5$; $-10$; $-26$ наибольшее — это $-10$.