Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование частных

Шаг 1. Найдём производную функции

Дана функция $y = \frac{25}{x} + x + 25$.

Вычислим производную каждого слагаемого:

• Производная $\frac{25}{x} = 25 \cdot x^{-1}$ равна $-\frac{25}{x^2}$
• Производная $x$ равна $1$
• Производная постоянной $25$ равна $0$

Получаем: $y' = -\frac{25}{x^2} + 1 = 1 - \frac{25}{x^2}$

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$1 - \frac{25}{x^2} = 0$$

$$\frac{25}{x^2} = 1$$

$$x^2 = 25$$

$$x = \pm 5$$

Шаг 3. Определим характер экстремума

Анализируем знак производной $y' = 1 - \frac{25}{x^2}$:

• При $x < -5$: $x^2 > 25$, поэтому $\frac{25}{x^2} < 1$ и $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $-5 < x < 0$: $x^2 < 25$, поэтому $\frac{25}{x^2} > 1$ и $y' < 0$ (функция убывает)
• При $0 < x < 5$: $x^2 < 25$, поэтому $\frac{25}{x^2} > 1$ и $y' < 0$ (функция убывает)
• При $x > 5$: $x^2 > 25$, поэтому $\frac{25}{x^2} < 1$ и $y' > 0$ (функция возрастает)

Видно, что при переходе через $x = 5$ производная меняет знак с минуса на плюс, что указывает на локальный минимум. При $x = -5$ знак меняется с плюса на минус (максимум).

Так как область определения функции — два промежутка $(−\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, точка минимума на области определения $x > 0$ равна $x = 5$.