Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование частных

Для поиска экстремумов найдём производную функции, используя правило дифференцирования дроби.

Шаг 1: Вычислим производную

Для функции $y = -\frac{x}{x^2 + 289}$ применяем формулу $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$$y' = -\frac{1 \cdot (x^2 + 289) - x \cdot 2x}{(x^2 + 289)^2} = -\frac{x^2 + 289 - 2x^2}{(x^2 + 289)^2} = \frac{x^2 - 289}{(x^2 + 289)^2}$$

Знак минуса исчез в числителе, так как раскрыли скобки с отрицательным коэффициентом.

Шаг 2: Найдём критические точки

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю: $$x^2 - 289 = 0$$ $$x^2 = 289$$ $$x = \pm 17$$

Знаменатель $(x^2 + 289)^2$ всегда положителен, поэтому критических точек больше нет.

Шаг 3: Определим знаки производной

• При $x < -17$: $x^2 > 289$, числитель положителен, $y' > 0$ — функция возрастает
• При $-17 < x < 17$: $x^2 < 289$, числитель отрицателен, $y' < 0$ — функция убывает
• При $x > 17$: $x^2 > 289$, числитель положителен, $y' > 0$ — функция возрастает

Шаг 4: Определим тип экстремумов

В точке $x = -17$ производная меняет знак с положительного на отрицательный — это точка максимума. В точке $x = 17$ происходит переход с отрицательного на положительный — это точка минимума.

Ответ: $x = -17$