Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование частных

Шаг 1. Переписываем функцию в удобный вид.

$$y = \frac{x^2 + 25}{x} = x + \frac{25}{x}$$

Это позволяет работать с производной проще.

Шаг 2. Находим производную.

$$y' = \left(x + \frac{25}{x}\right)' = 1 - \frac{25}{x^2} = \frac{x^2 - 25}{x^2}$$

Производная суммы — сумма производных. Производная от $x$ равна 1, производная от $\frac{25}{x}$ равна $-\frac{25}{x^2}$ по правилу степенной функции.

Шаг 3. Находим критические точки.

Производная обращается в нуль, когда числитель равен нулю: $$x^2 - 25 = 0 \implies x = \pm 5$$

На отрезке $[1; 10]$ находится только точка $x = 5$.

Шаг 4. Определяем знаки производной.

• При $1 < x < 5$: $x^2 < 25$, поэтому $y' < 0$ — функция убывает
• При $5 < x < 10$: $x^2 > 25$, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает

Таким образом, $x = 5$ — точка минимума на отрезке.

Шаг 5. Вычисляем значение в точке минимума.

$$y(5) = \frac{25 + 25}{5} = \frac{50}{5} = 10$$

Наименьшее значение функции на отрезке равно 10.