Задача 77473. Исследование частных

Найдём производную функции, используя правила дифференцирования:

$$y' = 1 - \frac{36}{x^2}$$

Производная суммы — это сумма производных: производная от $x$ равна $1$, а производная от $\frac{36}{x}$ (или $36x^{-1}$) равна $-\frac{36}{x^2}$.

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$$1 - \frac{36}{x^2} = 0$$

$$\frac{36}{x^2} = 1$$

$$x^2 = 36$$

$$x = \pm 6$$

По условию $x \in [1; 9]$, поэтому подходит только $x = 6$.

Определим характер экстремума. При $x < 6$ (например, $x = 1$): $y' = 1 - 36 = -35 < 0$ — функция убывает. При $x > 6$ (например, $x = 9$): $y' = 1 - \frac{36}{81} > 0$ — функция возрастает.

Значит, в точке $x = 6$ функция имеет минимум.

Вычислим значение в критической точке:

$$y(6) = 6 + \frac{36}{6} = 6 + 6 = 12$$

Проверим значения на концах отрезка: $y(1) = 1 + 36 = 37$; $y(9) = 9 + 4 = 13$.

Наименьшее значение — это $12$.