Задание 12 ЕГЭ: исследование функций без производной

О чём эта подтема

Задание 12 профильного ЕГЭ часто ассоциируется с производной: находим критические точки, смотрим смену знака производной, определяем экстремум. Но значительная часть таких задач решается быстрее и надёжнее без всякого дифференцирования — если увидеть, что функция составлена из элементарной монотонной «оболочки» (корень, логарифм, показательная функция) и простого «внутреннего» выражения — чаще всего квадратного трёхчлена.

Идея в том, что если внешняя функция монотонна на всей области значений внутренней, то точка экстремума всей сложной функции совпадает с точкой экстремума внутреннего выражения. А вершину параболы находить намного проще и быстрее, чем брать производную от корня или логарифма и решать уравнение с ним.

Этот приём экономит время на экзамене и снижает риск вычислительной ошибки — особенно ценно в задании 12, где как раз важна скорость.

Что нужно знать

Для уверенного решения таких задач нужно чётко держать в голове несколько фактов.

1. Монотонность композиции функций. Если $y = g(f(x))$, где $g$ — монотонно возрастающая функция (например, $\sqrt{t}$, $\log_a t$ при $a>1$, $a^t$ при $a>1$), то точки максимума и минимума $y$ совпадают с точками максимума и минимума $f(x)$ (с учётом области определения).

Если же $g$ — убывающая функция (например, $\log_a t$ при $0<a<1$, или $-\sqrt{t}$), то точка максимума $f(x)$ становится точкой минимума $y$, и наоборот.

2. Свойства квадратичной функции. Парабола $f(x) = ax^2+bx+c$ имеет единственную точку экстремума — вершину: $$x_0 = -\frac{b}{2a}.$$ Если $a>0$ — ветви вверх, в вершине минимум. Если $a<0$ — ветви вниз, в вершине максимум. Другого экстремума у параболы нет, и это очень удобно: не нужно решать уравнение с производной — вершина находится по готовой формуле.

3. Свойство $y=\sqrt{t}$. Эта функция определена при $t\ge 0$ и строго возрастает на всей области определения. Значит, там где $t$ максимально (минимально), там же максимально (минимально) и $\sqrt{t}$ — при условии, что в этой точке $t\ge 0$.

4. Область допустимых значений (ОДЗ). Прежде чем делать вывод об экстремуме, обязательно проверить, что найденная точка входит в ОДЗ исходной функции (подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма положителен и т.д.).

5. Различие вопросов задачи. В задании могут спрашивать точку экстремума (значение $x$) или значение функции в этой точке (значение $y$). Нужно внимательно читать формулировку и не перепутать эти два разных числа.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач такого типа можно свести к пяти шагам.

Шаг 1. Разглядеть структуру функции. Определить, что функция представляет собой композицию: внешняя монотонная функция (корень, логарифм, степень с положительным нечётным показателем и т.п.) от внутреннего выражения — как правило, квадратного трёхчлена.

Шаг 2. Определить характер монотонности внешней функции. Возрастающая или убывающая на области значений внутренней функции. От этого зависит, сохраняется тип экстремума (максимум остаётся максимумом) или меняется на противоположный.

Шаг 3. Найти экстремум внутреннего выражения. Если внутри — квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$, находим вершину по формуле $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ и определяем тип экстремума по знаку $a$.

Шаг 4. Проверить ОДЗ в найденной точке. Подставить $x_0$ во внутреннее выражение и убедиться, что оно удовлетворяет требованиям внешней функции (неотрицательность под корнем, положительность под логарифмом и т.д.).

Шаг 5. Сформулировать ответ. С учётом монотонности внешней функции определить, какой именно экстремум (максимум или минимум) получает вся сложная функция, и указать нужное число — либо $x_0$, либо значение функции в этой точке, в зависимости от вопроса задачи.

Этот алгоритм работает не только с квадратичными выражениями внутри — принцип «экстремум сложной функции определяется экстремумом внутренней части при монотонной внешней оболочке» универсален и применим к более сложным конструкциям, если внешняя функция монотонна на всей нужной области.

Разбор примера

Пример 1. Найдите точку максимума функции $$y = \sqrt{4 - 4x - x^2}.$$

Шаг 1. Определяем структуру. Это композиция: внешняя функция $\sqrt{t}$, внутренняя — квадратный трёхчлен $f(x) = 4 - 4x - x^2 = -x^2-4x+4$.

Шаг 2. Монотонность внешней функции. Функция $\sqrt{t}$ строго возрастает при $t \ge 0$. Значит, максимум $y$ достигается там же, где максимум $f(x)$ (тип экстремума сохраняется).

Шаг 3. Ищем вершину параболы. Здесь $a=-1$, $b=-4$, ветви параболы направлены вниз ($a<0$), значит в вершине — максимум: $$x_{\max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2\cdot(-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2.$$

Шаг 4. Проверяем ОДЗ. Подставим $x=-2$ в подкоренное выражение: $$f(-2) = -(-2)^2 - 4\cdot(-2) + 4 = -4+8+4 = 8 > 0.$$ Значение положительно, функция определена, точка входит в ОДЗ.

Шаг 5. Ответ. Поскольку внешняя функция возрастающая, максимум подкоренного выражения даёт максимум всей функции. Точка максимума: $x=-2$.

Пример 2. Найдите точку минимума функции $$y = \sqrt{x^2 - 6x + 11}.$$

Шаг 1. Структура. Внешняя функция — $\sqrt{t}$, внутренняя — трёхчлен $f(x)=x^2-6x+11$.

Шаг 2. Монотонность. $\sqrt{t}$ возрастает при $t\ge0$, значит минимум $y$ соответствует минимуму $f(x)$.

Шаг 3. Вершина параболы. Здесь $a=1>0$ — ветви вверх, в вершине минимум: $$x_{\min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2\cdot1} = 3.$$

Шаг 4. Проверка ОДЗ. $$f(3) = 9-18+11 = 2 > 0.$$ Подкоренное выражение положительно — функция определена в этой точке.

Шаг 5. Ответ. Поскольку внешняя функция возрастающая, минимум трёхчлена даёт минимум всей функции. Точка минимума: $x=3$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: не нужно дифференцировать корень — достаточно найти вершину параболы под корнем и проверить знак подкоренного выражения в этой точке.

Типичные ошибки

Путаница с направлением экстремума при убывающей внешней функции. Если внешняя функция убывающая (например, $\log_{0.5} t$), то максимум внутреннего выражения даёт минимум всей функции, а не максимум. Забывание этого правила — частая причина неверного ответа.

Пропуск проверки ОДЗ. Иногда вершина параболы формально вычисляется верно, но в этой точке подкоренное выражение (или аргумент логарифма) отрицательно или равно нулю там, где это недопустимо. Тогда экстремум ищется иначе — на границе области определения, а не в вершине.

Ошибка в формуле вершины параболы. Часто путают знаки при подстановке в $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, особенно когда коэффициенты отрицательные. Важно аккуратно записывать трёхчлен в стандартном виде $ax^2+bx+c$ перед тем, как определять $a$ и $b$.

Путаница между значением $x$ и значением $y$. В задаче может требоваться либо точка экстремума (абсцисса), либо значение самой функции в этой точке (ордината). Проверка того, что именно просят, обязательна перед записью ответа.

Неверное определение направления ветвей параболы. Знак коэффициента $a$ определяет, максимум или минимум в вершине. Ошибка в знаке приводит к перепутыванию типа экстремума ещё до учёта внешней функции.

Игнорирование того, что у параболы только одна точка экстремума. Иногда пытаются искать несколько «подозрительных» точек, хотя у квадратного трёхчлена экстремум единственный — вершина, и других точек рассматривать не нужно.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задания 12 без производной стоит держать в фокусе несколько практических моментов.

Во-первых, сразу определяйте тип внешней функции и её монотонность — это первый и самый важный шаг, от которого зависит вся дальнейшая логика. Возрастающая функция сохраняет тип экстремума, убывающая — меняет местами максимум и минимум.

Во-вторых, не пропускайте проверку ОДЗ в найденной точке. Даже если вершина параболы вычислена правильно, задача считается решённой только после подтверждения, что точка входит в область определения исходной функции.

В-третьих, внимательно читайте формулировку вопроса: «найдите точку экстремума» требует ответа в виде $x$, а «найдите наибольшее (наименьшее) значение функции» требует подстановки найденного $x_0$ в саму функцию и вычисления $y$.

В-четвёртых, такой подход работает быстрее производной, но применим не всегда: если внутри — не монотонное простое выражение, а более сложная конструкция без единственного явного экстремума, стоит вернуться к стандартному исследованию с производной. Умение быстро распознать, когда применим «облегчённый» метод, а когда нужен полный аппарат — важный экзаменационный навык.

Наконец, полезно держать в памяти формулу вершины параболы наизусть и уметь применять её автоматически, без промежуточных вычислений — это существенно экономит время в условиях ограниченного экзаменационного времени.