Задача 245175. Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наименьшее значение функции $y= корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 6x плюс 13 конец аргумента .$

В подтеме 17 задач

Разбор

Главная идея: Выделение полного квадрата позволяет свести задачу к анализу выражения вида

\sqrt{(\text{что-то})^2 + \text{число}}

, где минимум достигается, когда квадратная скобка равна нулю.

Нужно найти минимум функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 13}$ .

Шаг 1: Выделяем полный квадрат под корнем

Выражение $x^2 - 6x + 13$ преобразуем, выделив квадрат двучлена: $x^2 - 6x + 13 = (x^2 - 6x + 9) + 4 = (x - 3)^2 + 4$

Так мы представили трёхчлен в виде суммы квадрата и константы.

Шаг 2: Подставляем в исходную функцию

$y = \sqrt{(x - 3)^2 + 4}$

Шаг 3: Анализируем минимум

Член $(x - 3)^2$ всегда неотрицателен и принимает минимальное значение 0 при $x = 3$ .

Выражение под корнем: $(x - 3)^2 + 4 \geq 4$ , причём равенство достигается при $x = 3$ .

Следовательно: $y = \sqrt{(x - 3)^2 + 4} \geq \sqrt{4} = 2$

Вывод

Наименьшее значение функции равно 2 и достигается при $x = 3$ .

Ошибка при выделении полного квадрата — неправильно подбирают коэффициент перед переменной или ошибаются с остатком
Забывают, что $(x - 3)^2 \geq 0$ , и пытаются найти минимум через производную, хотя это не требуется
Находят минимум выражения под корнем, но забывают взять корень из полученного значения

Ещё задачи этой подтемы