Задача 245174. Исследование функций без помощи производной

Нам нужно найти точку минимума функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 11}$.

Шаг 1. Обозначим подкоренное выражение: $f(x) = x^2 - 6x + 11$. Это квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом (он равен 1), поэтому парабола ветвями направлена вверх и имеет минимум в вершине.

Шаг 2. Найдём абсциссу вершины параболы по формуле $x_{\min} = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$, $b = -6$: $$x_{\min} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Шаг 3. Проверим, что исходная функция определена при $x = 3$: $$f(3) = 9 - 18 + 11 = 2 > 0$$ Подкоренное выражение положительно, значит функция существует.

Шаг 4. Функция $y = \sqrt{t}$ — это возрастающая функция (при возрастании аргумента $t$ значение корня возрастает). Поскольку корень из положительного числа возрастает вместе с самим числом, минимум исходной функции достигается при том же значении $x$, при котором минимален трёхчлен под корнем.

Ответ: $x = 3$.