Задача 510409. Исследование функций без помощи производной

Обозначим подкоренное выражение: $f(x) = x^2 + 6x + 12$.

Поскольку функция $y = \sqrt{t}$ является возрастающей при $t \geq 0$, исходная функция $y = \sqrt{x^2 + 6x + 12}$ достигает минимума в той же точке, где достигает минимума выражение под корнем.

Квадратный трёхчлен $f(x) = x^2 + 6x + 12$ имеет положительный старший коэффициент (коэффициент при $x^2$ равен 1 > 0), поэтому его график — парабола, ветви которой направлены вверх. Минимум такой параболы находится в вершине.

Для квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ абсцисса вершины вычисляется по формуле: $$x_{\min} = -\frac{b}{2a}$$

В нашем случае: $a = 1$, $b = 6$, $c = 12$.

Подставляем: $$x_{\min} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -\frac{6}{2} = -3$$

Проверим, что функция определена в этой точке: $f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 12 = 9 - 18 + 12 = 3 > 0$. Подкоренное выражение положительно, значит функция определена.

Таким образом, точка минимума: $x = -3$.