ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование функций без помощи производной

Задача 245173. Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите точку максимума функции y= корень из: начало аргумента: 4 минус 4x минус x в квадрате конец аргумента .

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Максимум корня из функции совпадает с максимумом подкоренного выражения, поскольку корень — монотонно возрастающая функция. Подкоренный трёхчлен — парабола с отрицательным старшим коэффициентом, её вершина даёт искомый максимум.

Функция имеет вид y=4−4x−x2y = \sqrt{4 - 4x - x^2}. Чтобы найти её максимум, проанализируем подкоренное выражение.

Шаг 1. Определяем, какую роль играет подкоренное выражение.

Подкоренное выражение — это квадратный трёхчлен f(x)=4−4x−x2=−x2−4x+4f(x) = 4 - 4x - x^2 = -x^2 - 4x + 4. Перепишем его в стандартный вид: f(x)=−x2−4x+4f(x) = -x^2 - 4x + 4.

Шаг 2. Используем свойство монотонности корня.

Функция корня y=ty = \sqrt{t} — возрастающая при t≥0t \geq 0. Это означает, что максимум yy достигается одновременно с максимумом подкоренного выражения f(x)f(x).

Шаг 3. Находим вершину параболы.

Подкоренное выражение — парабола f(x)=−x2−4x+4f(x) = -x^2 - 4x + 4 с коэффициентом a=−1<0a = -1 < 0 (ветви направлены вниз), поэтому она имеет максимум в вершине.

Вершина параболы находится по формуле: xmax⁡=−b2ax_{\max} = -\frac{b}{2a}, где a=−1a = -1, b=−4b = -4.

xmax⁡=−−42⋅(−1)=−−4−2=−42=−2x_{\max} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-4}{-2} = -\frac{4}{2} = -2

Шаг 4. Проверяем определённость.

При x=−2x = -2: f(−2)=−(−2)2−4(−2)+4=−4+8+4=8>0f(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 4 = -4 + 8 + 4 = 8 > 0. Функция определена в этой точке.

Исходная функция y=4−4x−x2y = \sqrt{4 - 4x - x^2} достигает максимума в точке x=−2x = -2.

Типичные ошибки

  • Забывают, что функция корня монотонно возрастает, и пытаются брать производную исходной функции вместо анализа подкоренного выражения.
  • Ошибаются в знаках при применении формулы вершины параболы x=−b2ax = -\frac{b}{2a} — путают или неправильно подставляют коэффициенты aa и bb.
  • Не проверяют область определения и не убеждаются, что найденная точка входит в область определения исходной функции (что подкоренное выражение неотрицательно).

Похожие задачи (другие числа)