ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование функций без помощи производной

Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите точку максимума функции y= корень из: начало аргумента: минус 6 плюс 12x минус x в квадрате конец аргумента .

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Максимум корня достигается в той же точке, где максимально подкоренное выражение, поэтому нужно найти вершину парабол квадратичного трехчлена под корнем.

Функция y=−6+12x−x2y = \sqrt{-6 + 12x - x^2} определена, только когда подкоренное выражение неотрицательно. Максимум всей функции зависит от максимума подкоренного выражения, потому что корень — возрастающая функция: чем больше значение под корнем, тем больше значение самого корня.

Обозначим подкоренное выражение: f(x)=−6+12x−x2=−x2+12x−6f(x) = -6 + 12x - x^2 = -x^2 + 12x - 6.

Это квадратичная функция вида ax2+bx+cax^2 + bx + c, где a=−1a = -1, b=12b = 12, c=−6c = -6.

Поскольку a=−1<0a = -1 < 0, парабола ветвями вниз, значит, имеет единственный максимум в вершине.

Абсцисса вершины параболы находится по формуле: xmax⁡=−b2ax_{\max} = -\frac{b}{2a}.

Подставим наши значения: xmax⁡=−122⋅(−1)=−12−2=6x_{\max} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = -\frac{12}{-2} = 6.

В точке x=6x = 6 подкоренное выражение достигает своего наибольшего значения. Следовательно, в этой же точке вся функция y=−x2+12x−6y = \sqrt{-x^2 + 12x - 6} достигает максимума.

Типичные ошибки

  • Забыть, что парабола с отрицательным старшим коэффициентом имеет максимум, а не минимум
  • Неправильно применить формулу вершины, например с неверным знаком при делении
  • Не учесть область определения корня и проверить, что найденная точка действительно входит в область определения функции
Непонятно?

Похожие задачи