Задача 245177. Исследование функций без помощи производной

Функция имеет вид $y = \log_2(2 + 2x - x^2) - 2$. Аргумент логарифма — квадратичная функция $f(x) = 2 + 2x - x^2$, которую перепишем в стандартном виде: $f(x) = -x^2 + 2x + 2$.

Это парабола с отрицательным коэффициентом при $x^2$ (равным $-1$), поэтому она имеет максимум. Вершину параболы найдём по формуле $x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}$, где $a = -1$ и $b = 2$:

$$x_{\text{вершины}} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$$

Проверим, что в этой точке аргумент логарифма положителен: $f(1) = 2 + 2 \cdot 1 - 1^2 = 3 > 0$ ✓

Теперь воспользуемся важным свойством: если функция $g(t)$ строго возрастает, а $t = f(x)$ имеет максимум в точке $x_0$, то композиция $g(f(x))$ также достигает максимума в $x_0$. Логарифм $\log_2 t$ — возрастающая функция, поэтому $\log_2(2 + 2x - x^2)$ максимальна там же, где максимален её аргумент, то есть при $x = 1$. Вычитание постоянной $-2$ не влияет на точку максимума.

Следовательно, точка максимума функции — $x = 1$.