Задача 245179. Исследование функций без помощи производной

Выделим главное: нужно найти наименьшее значение всей функции $y = \log_3(x^2 - 6x + 10) + 2$.

Заметим, что логарифм — возрастающая функция (основание 3 > 1), поэтому минимум логарифма достигается, когда минимально выражение под логарифмом: $x^2 - 6x + 10$.

Это квадратный трёхчлен с положительным коэффициентом при $x^2$, значит, парабола ветвями вверх и имеет минимум в вершине.

Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

Найдём значение выражения под логарифмом в точке $x = 3$: $$x^2 - 6x + 10 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1$$

Подставим в исходную функцию: $$y(3) = \log_3(1) + 2 = 0 + 2 = 2$$

Поскольку $\log_3$ — возрастающая функция, а выражение $x^2 - 6x + 10$ достигает минимума 1 при $x = 3$, то вся функция принимает наименьшее значение 2 в этой же точке.