Задача 245178. Исследование функций без помощи производной

Обозначим выражение под логарифмом: $f(x) = x^2 - 6x + 12$.

Это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом (коэффициент при $x^2$ равен 1), поэтому парабола ветвями вверх и имеет единственный минимум.

Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$, $b = -6$: $$x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Проверим, что функция определена при $x = 3$: $$f(3) = 9 - 18 + 12 = 3 > 0$$

Аргумент логарифма положителен, значит функция определена.

Поскольку логарифм $y = \log_5 t$ — возрастающая функция (основание 5 > 1), то:

• когда аргумент $t$ достигает минимума, сам логарифм также достигает минимума.

Добавление константы 2 к логарифму сдвигает график вверх, но не меняет положение минимума.

Следовательно, исходная функция $y = \log_5(x^2 - 6x + 12) + 2$ достигает своего минимума в точке $x = 3$.