ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование функций без помощи производной

Задача 245176. Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наибольшее значение функции y= корень из: начало аргумента: 5 минус 4x минус x в квадрате конец аргумента .

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Выделить полный квадрат в подкоренном выражении, после чего станет видно, при каком значении xx корень достигает максимума — когда квадратичное слагаемое обращается в нуль.

Нужно найти наибольшее значение выражения под корнем, так как корень — возрастающая функция.

Шаг 1. Выделяем полный квадрат под корнем.

Преобразуем выражение 5−4x−x25 - 4x - x^2:

5−4x−x2=−(x2+4x−5)=−(x2+4x+4−4−5)=−(x2+4x+4)+9=9−(x+2)25 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x - 5) = -(x^2 + 4x + 4 - 4 - 5) = -(x^2 + 4x + 4) + 9 = 9 - (x+2)^2

Получили: y=9−(x+2)2y = \sqrt{9 - (x+2)^2}

Шаг 2. Ищем максимум.

Так как (x+2)2≥0(x+2)^2 \geq 0 для всех xx, то выражение 9−(x+2)2≤99 - (x+2)^2 \leq 9.

Это значит y=9−(x+2)2≤9=3y = \sqrt{9 - (x+2)^2} \leq \sqrt{9} = 3.

Шаг 3. Определяем, когда достигается максимум.

Равенство y=3y = 3 выполняется, когда (x+2)2=0(x+2)^2 = 0, то есть при x=−2x = -2.

Проверка: y(−2)=9−0=3y(-2) = \sqrt{9 - 0} = 3 ✓

Наибольшее значение функции равно 3.

Типичные ошибки

  • Забыли учесть, что корень — возрастающая функция, и максимум корня достигается при максимуме подкоренного выражения
  • Ошибка при выделении полного квадрата: неправильно раскрыли скобки или потеряли знак
  • Нашли критическую точку, но не проверили, что в ней функция действительно максимальна, а не минимальна

Ещё задачи этой подтемы