Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наибольшее значение функции $y= корень из: начало аргумента: 5 минус 4x минус x в квадрате конец аргумента .$

В подтеме 17 задач

Разбор

Главная идея: Выделить полный квадрат в подкоренном выражении, после чего станет видно, при каком значении

x

корень достигает максимума — когда квадратичное слагаемое обращается в нуль.

Нужно найти наибольшее значение выражения под корнем, так как корень — возрастающая функция.

Шаг 1. Выделяем полный квадрат под корнем.

Преобразуем выражение $5 - 4x - x^2$ :

$5 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x - 5) = -(x^2 + 4x + 4 - 4 - 5) = -(x^2 + 4x + 4) + 9 = 9 - (x+2)^2$

Получили: $y = \sqrt{9 - (x+2)^2}$

Шаг 2. Ищем максимум.

Так как $(x+2)^2 \geq 0$ для всех $x$ , то выражение $9 - (x+2)^2 \leq 9$ .

Это значит $y = \sqrt{9 - (x+2)^2} \leq \sqrt{9} = 3$ .

Шаг 3. Определяем, когда достигается максимум.

Равенство $y = 3$ выполняется, когда $(x+2)^2 = 0$ , то есть при $x = -2$ .

Проверка: $y(-2) = \sqrt{9 - 0} = 3$ ✓

Наибольшее значение функции равно 3.

Забыли учесть, что корень — возрастающая функция, и максимум корня достигается при максимуме подкоренного выражения
Ошибка при выделении полного квадрата: неправильно раскрыли скобки или потеряли знак
Нашли критическую точку, но не проверили, что в ней функция действительно максимальна, а не минимальна

Непонятно?

Похожие задачи