ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование функций без помощи производной

Задача 245182. Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите точку минимума функции y=7 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 3 правая круглая скобка .

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Монотонно возрастающая показательная функция имеет минимум в той же точке, что и её показатель, поэтому нужно найти минимум квадратного трехчлена через вершину параболы.

Исходная функция имеет вид y=7x2+2x+3y = 7^{x^2 + 2x + 3}.

Основная идея: поскольку показательная функция y=7ty = 7^t с основанием больше 1 является строго возрастающей, значение всей функции зависит от показателя степени. Функция y=7x2+2x+3y = 7^{x^2 + 2x + 3} достигает своего минимума ровно в той точке, где минимален показатель t=x2+2x+3t = x^2 + 2x + 3.

Сосредоточимся на выражении t=x2+2x+3t = x^2 + 2x + 3. Это квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом (коэффициент при x2x^2 равен 1 > 0), поэтому парабола ветвями направлена вверх и имеет минимум в вершине.

Для квадратного трехчлена вида t=ax2+bx+ct = ax^2 + bx + c вершина находится в точке xmin=−b2ax_{min} = -\frac{b}{2a}.

В нашем случае: a=1a = 1, b=2b = 2, c=3c = 3.

Подставляем в формулу: xmin=−22⋅1=−22=−1x_{min} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -\frac{2}{2} = -1

Таким образом, исходная функция достигает минимума в точке x=−1x = -1.

Типичные ошибки

  • Забыли, что основание 7 > 1, и ошибочно применили формулу максимума вместо минимума
  • Неправильно применили формулу вершины параболы: перепутали знак или коэффициенты a и b
  • Нашли минимум показателя, но забыли, что это и есть точка минимума исходной функции, и попытались ещё что-то вычислять

Ещё задачи этой подтемы