ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование функций без помощи производной

Задача 245181. Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите точку максимума функции y=11 в степени левая круглая скобка 6x минус x в квадрате правая круглая скобка .

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Монотонная возрастающая функция в большей степени достигает максимума при максимальном значении показателя, поэтому максимум исходной функции совпадает с максимумом квадратичного выражения в показателе.

Наша функция имеет вид y=116x−x2y = 11^{6x - x^2}. Ключ к решению — понять, что значение всей функции зависит от показателя степени.

Поскольку основание 11 > 1, функция y=11ty = 11^t является возрастающей. Это означает, что чем больше значение показателя tt, тем больше значение всей функции. Следовательно, наша функция достигает максимума именно в той точке, где максимален показатель степени.

Максимизируем выражение в показателе: f(x)=6x−x2f(x) = 6x - x^2.

Перепишем в стандартный вид: f(x)=−x2+6xf(x) = -x^2 + 6x.

Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при x2x^2 (то есть a=−1<0a = -1 < 0), поэтому парабола ветвями вниз и имеет максимум в вершине.

Для квадратичной функции f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c координата вершины по оси x вычисляется по формуле: xmax=−b2ax_{max} = -\frac{b}{2a}

В нашем случае a=−1a = -1 и b=6b = 6: xmax=−62⋅(−1)=−6−2=3x_{max} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3

Ответ: точка максимума функции — это x=3x = 3.

Типичные ошибки

  • Забыли, что основание 11 > 1, и предположили, что функция может быть убывающей
  • Ошибка в знаках при подстановке в формулу вершины: неправильно обработали отрицательный коэффициент a
  • Нашли вершину параболы 6x−x26x - x^2, но не учли, что это показатель, и решили, что функция максимальна в другой точке

Ещё задачи этой подтемы