ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование функций без помощи производной

Задача 245180. Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наибольшее значение функции y= логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 4 минус 2x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 3.

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Максимум логарифмической функции совпадает с максимумом её аргумента; для этого найдите вершину парабола под логарифмом через формулу x=−b2ax = -\frac{b}{2a}.

Функция y=log⁡5(4−2x−x2)+3y = \log_5(4 - 2x - x^2) + 3 состоит из логарифма и константы.

Шаг 1. Логарифм — возрастающая функция. Это означает, что чем больше значение аргумента (выражение под логарифмом), тем больше значение логарифма. Поэтому наибольшее значение всей функции достигается там, где максимален подлогарифмический выраз 4−2x−x24 - 2x - x^2.

Шаг 2. Перепишем подлогарифмическое выражение: f(x)=4−2x−x2=−x2−2x+4f(x) = 4 - 2x - x^2 = -x^2 - 2x + 4.

Это парабола с отрицательным коэффициентом при x2x^2 (он равен −1-1), поэтому ветви направлены вниз и максимум существует.

Шаг 3. Для параболы ax2+bx+cax^2 + bx + c вершина (точка максимума при a<0a < 0) находится в точке x=−b2ax = -\frac{b}{2a}.

У нас a=−1a = -1, b=−2b = -2, значит: x=−−22⋅(−1)=−−2−2=−1x = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1

Шаг 4. Вычислим значение подлогарифмического выражения при x=−1x = -1: 4−2(−1)−(−1)2=4+2−1=54 - 2(-1) - (-1)^2 = 4 + 2 - 1 = 5

Шаг 5. Найдём значение функции: y=log⁡55+3=1+3=4y = \log_5 5 + 3 = 1 + 3 = 4

Типичные ошибки

  • Забыли, что логарифм — возрастающая функция, и попытались минимизировать аргумент вместо максимизации
  • Ошибка в знаках при нахождении вершины параболы — неправильно определили коэффициенты aa и bb
  • Вычислили координату вершины, но забыли подставить её в исходную функцию — нашли только аргумент логарифма, но не сам логарифм

Ещё задачи этой подтемы