ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование функций без помощи производной

Задача 507908. Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наименьшее значение функции y=7 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 3 правая круглая скобка .

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Поскольку основание показательной функции больше 1, она возрастает, поэтому минимум функции совпадает с минимумом показателя степени.

Функция y=7x2−2x+3y = 7^{x^2 - 2x + 3} — это композиция показательной функции и квадратичной. Ключ к решению: показательная функция 7t7^t всегда возрастает (основание больше 1), поэтому вся функция достигает своего наименьшего значения ровно тогда, когда наименьшего значения достигает показатель степени.

Найдём минимум выражения t=x2−2x+3t = x^2 - 2x + 3. Это парабола с положительным старшим коэффициентом (ветви вверх), так что у неё есть минимум в вершине.

Для квадратичной функции f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c вершина находится в точке x=−b2ax = -\frac{b}{2a}. В нашем случае a=1a = 1, b=−2b = -2, поэтому: x=−(−2)2⋅1=22=1x = -\frac{(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1

Подставляем x=1x = 1 в показатель: tmin⁡=12−2⋅1+3=1−2+3=2t_{\min} = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2

Следовательно, наименьшее значение исходной функции: ymin⁡=72=49y_{\min} = 7^2 = 49

Типичные ошибки

  • Забыли, что показательная функция монотонна, и пытались искать минимум самой функции через производную
  • Ошибка при вычислении вершины параболы — неправильно применили формулу или ошиблись в знаках
  • Нашли абсциссу вершины, но забыли подставить её в показатель и вычислить значение функции

Ещё задачи этой подтемы