ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование функций без помощи производной

Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наименьшее значение функции y=2 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 5 правая круглая скобка .

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Поскольку показательная функция с основанием >1 возрастает, минимум исходной функции совпадает с минимумом показателя степени, который является квадратичной функцией, достигающей наименьшего значения в вершине параболы.

Нужно найти наименьшее значение функции y=2x2+2x+5y = 2^{x^2 + 2x + 5}.

Шаг 1. Заметим, что основание степени — число 2, которое больше 1. Это значит, функция y=2ty = 2^t возрастающая: чем больше показатель tt, тем больше значение всей функции.

Шаг 2. Поэтому наименьшее значение исходной функции будет в той же точке, где достигает минимума показатель степени — выражение t=x2+2x+5t = x^2 + 2x + 5.

Шаг 3. Рассмотрим квадратичную функцию g(x)=x2+2x+5g(x) = x^2 + 2x + 5. Коэффициент при x2x^2 равен 1 (положительный), поэтому парабола ветвями вверх и имеет минимум.

Шаг 4. Найдём вершину параболы по формуле x=−b2ax = -\frac{b}{2a}, где a=1a = 1, b=2b = 2: x=−22⋅1=−1x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1

Шаг 5. Вычислим значение показателя в точке x=−1x = -1: g(−1)=(−1)2+2(−1)+5=1−2+5=4g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4

Шаг 6. Минимальное значение исходной функции: ymin⁡=24=16y_{\min} = 2^4 = 16

Типичные ошибки

  • Забыли, что нужно искать минимум показателя степени, а не самой функции, и сразу стали применять производную к исходной функции
  • Неправильно вычислили координату вершины параболы или допустили ошибку в знаках при подстановке
  • Нашли точку минимума показателя, но забыли вычислить значение исходной функции в этой точке
Непонятно?

Похожие задачи