Задача 245183. Исследование функций без помощи производной

Нужно найти наименьшее значение функции $y = 2^{x^2 + 2x + 5}$.

Шаг 1. Заметим, что основание степени — число 2, которое больше 1. Это значит, функция $y = 2^t$ возрастающая: чем больше показатель $t$, тем больше значение всей функции.

Шаг 2. Поэтому наименьшее значение исходной функции будет в той же точке, где достигает минимума показатель степени — выражение $t = x^2 + 2x + 5$.

Шаг 3. Рассмотрим квадратичную функцию $g(x) = x^2 + 2x + 5$. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), поэтому парабола ветвями вверх и имеет минимум.

Шаг 4. Найдём вершину параболы по формуле $x = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$, $b = 2$: $$x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$$

Шаг 5. Вычислим значение показателя в точке $x = -1$: $$g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$$

Шаг 6. Минимальное значение исходной функции: $$y_{\min} = 2^4 = 16$$