ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование функций без помощи производной

Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 124.2.1.1* Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка

Найдите наибольшее значение функции y = дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x минус 2 косинус x плюс 5 конец дроби на отрезке [–π; π].

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Замена переменной t=cos⁡xt = \cos x сводит задачу к поиску экстремума рациональной функции; дробь достигает максимума, когда знаменатель минимален, что происходит в вершине параболы (выделенной из квадрата).

Обозначим t=cos⁡xt = \cos x. На отрезке [−π;π][-\pi; \pi] косинус принимает все значения от −1-1 до 11, поэтому t∈[−1;1]t \in [-1; 1].

Задача сводится к поиску наибольшего значения функции: g(t)=1t2−2t+5g(t) = \frac{1}{t^2 - 2t + 5} на отрезке [−1;1][-1; 1].

Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат: t2−2t+5=t2−2t+1+4=(t−1)2+4t^2 - 2t + 5 = t^2 - 2t + 1 + 4 = (t - 1)^2 + 4

Таким образом: g(t)=1(t−1)2+4g(t) = \frac{1}{(t - 1)^2 + 4}

Чтобы дробь с положительным числителем была наибольшей, нужно минимизировать знаменатель. Выражение (t−1)2+4(t - 1)^2 + 4 — это сумма неотрицательного квадрата и числа 4. Квадрат (t−1)2(t - 1)^2 достигает минимального значения 0 при t=1t = 1.

Проверим: t=1t = 1 принадлежит отрезку [−1;1][-1; 1]. При t=1t = 1 знаменатель равен (1−1)2+4=4(1 - 1)^2 + 4 = 4.

Наибольшее значение функции: g(1)=14=0,25g(1) = \frac{1}{4} = 0,25

Типичные ошибки

  • Забыть, что косинус ограничен: t∈[−1;1]t \in [-1; 1], и проверить, что точка экстремума входит в этот диапазон
  • Ошибка в выделении полного квадрата: неправильно разбить t2−2t+5t^2 - 2t + 5 на части
  • Перепутать минимум и максимум: не заметить, что максимум дроби соответствует минимуму знаменателя
Непонятно?

Похожие задачи