ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование функций без помощи производной

Задача 245184. Исследование функций без помощи производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наибольшее значение функции y=3 в степени левая круглая скобка минус 7 минус 6x минус x в квадрате правая круглая скобка .

В подтеме 17 задач
Разбор
Главная идея: Максимум показательной функции с возрастающим основанием совпадает с максимумом показателя; для парабола ветвями вниз максимум находится в вершине по формуле x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}.

Функция имеет вид y=3−7−6x−x2y=3^{-7-6x-x^2}. Поскольку показательная функция 3t3^t — возрастающая, наибольшее значение yy будет достигнуто при наибольшем значении показателя степени.

Обозначим показатель: t(x)=−7−6x−x2=−x2−6x−7t(x) = -7-6x-x^2 = -x^2-6x-7. Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при x2x^2, значит, её график — парабола, ветви направлены вниз. Максимум такой функции находится в вершине.

Для квадратного трёхчлена at2+bt+cat^2+bt+c абсцисса вершины: x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}.

В нашем случае a=−1a=-1, b=−6b=-6, поэтому: x0=−−62⋅(−1)=−−6−2=−3x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-6}{-2} = -3

Вычислим значение показателя при x=−3x=-3: t(−3)=−(−3)2−6⋅(−3)−7=−9+18−7=2t(-3) = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2

Тогда наибольшее значение исходной функции: ymax⁡=32=9y_{\max} = 3^2 = 9

Типичные ошибки

  • Забыли, что парабола с отрицательным старшим коэффициентом имеет максимум, а не минимум
  • Ошибка в вычислении абсциссы вершины: неправильно применили формулу или забыли о знаках коэффициентов
  • Вычислили вершину правильно, но подставили неверно или потеряли знак при подстановке в показатель

Ещё задачи этой подтемы