Задача 502312. Исследование функций без помощи производной

Нужно найти максимум функции $y = \log_{1/3}(x^2 + 6x + 12)$ на отрезке $[-19; -1]$.

Шаг 1. Преобразуем выражение под логарифмом.

Выделим полный квадрат в выражении $x^2 + 6x + 12$: $$x^2 + 6x + 12 = (x+3)^2 - 9 + 12 = (x+3)^2 + 3$$

Поэтому: $$y = \log_{1/3}((x+3)^2 + 3)$$

Шаг 2. Применим свойство логарифма с основанием меньше 1.

Логарифмическая функция $\log_{1/3}(t)$ — убывающая, потому что основание $\frac{1}{3} < 1$. Это значит: чем больше значение аргумента $t$, тем меньше значение логарифма.

Шаг 3. Найдём минимум аргумента логарифма.

Для максимума логарифма нужен минимум подлогарифмического выражения $(x+3)^2 + 3$.

Выражение $(x+3)^2 \geq 0$ для всех $x$, равенство достигается при $x = -3$.

Проверим: $-3 \in [-19; -1]$ — верно.

Минимальное значение: $(x+3)^2 + 3 = 0 + 3 = 3$ при $x = -3$.

Шаг 4. Найдём максимум функции.

$$y_{\max} = \log_{1/3}(3) = -1$$

Поскольку $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$.