Задание 12 ЕГЭ: наибольшее и наименьшее значение показательных и логарифмических функций

О чём эта подтема

Задание 12 профильного ЕГЭ проверяет умение находить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке. Среди всех функций, которые встречаются в этом задании, отдельно выделяется группа задач с показательными и логарифмическими выражениями. Их сложность обычно не в самой идее решения (она стандартна — через производную), а в технике: нужно аккуратно работать со свойствами логарифмов и степеней, правильно находить производную сложной функции и не забывать про область определения.

Особенность таких задач в том, что функция часто задаётся через логарифм от степени или произведения, и первый шаг — упростить выражение с помощью свойств логарифмов, прежде чем дифференцировать. Если пропустить этот шаг, вычисления становятся куда более громоздкими и растёт риск арифметической ошибки.

Что нужно знать

Для уверенного решения этой подтемы достаточно твёрдо владеть следующим набором фактов.

Свойства логарифмов, которые почти всегда используются для упрощения выражения перед дифференцированием: $$\ln(a^n) = n\ln a, \quad a>0.$$ Это ключевое тождество: если в условии стоит логарифм от куба, пятой степени или любой другой степени положительного выражения, его нужно сразу вынести множителем — это резко упрощает дальнейшую производную.

Область определения логарифма. Выражение под логарифмом должно быть строго положительным. Прежде чем что-либо считать, нужно проверить, что весь заданный отрезок входит в область определения функции. Если это не так, задача либо содержит подвох, либо нужно сузить рассматриваемый промежуток.

Производная логарифмической функции: $$(\ln u)' = \frac{u'}{u}.$$ В частности, $(\ln(x+c))' = \dfrac{1}{x+c}$.

Производная линейной функции — тривиальна, но именно линейное слагаемое ($3x$, $-5x$ и подобные) чаще всего входит в такие функции вместе с логарифмом.

Теорема о наибольшем/наименьшем значении непрерывной функции на отрезке. Если функция непрерывна на замкнутом отрезке $[a;b]$, то она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значения — либо в критических точках (где производная равна нулю или не существует), либо на концах отрезка. Показательная и логарифмическая функции непрерывны и дифференцируемы во всей своей области определения, поэтому исследование сводится к стандартному алгоритму через производную.

Умение решать простое уравнение первой степени, возникающее при $y'=0$ — обычно после приведения к общему знаменателю остаётся линейное уравнение.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определить область определения функции и убедиться, что заданный отрезок целиком в неё входит (для логарифма — что выражение под ним положительно на всём отрезке).
2. Упростить выражение, если под логарифмом стоит степень: вынести показатель степени как множитель по формуле $\ln(a^n)=n\ln a$. Это превращает громоздкое выражение в сумму линейной функции и простого логарифма.
3. Найти производную упрощённой функции, используя правило $(\ln u)'=u'/u$ и правило дифференцирования суммы.
4. Приравнять производную к нулю и решить уравнение относительно $x$. Обычно после приведения к общему знаменателю остаётся линейное уравнение с одним корнем.
5. Проверить, что корень лежит внутри отрезка. Если да — это критическая точка, которую нужно учитывать дальше.
6. Определить характер критической точки по знаку производной слева и справа (или через вторую производную), чтобы понять, максимум это или минимум.
7. Вычислить значение функции в критической точке и на обоих концах отрезка.
8. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее или наименьшее — в зависимости от того, что спрашивается в условии.

Если критическая точка оказывается вне отрезка, наибольшее и наименьшее значения достигаются только на концах, и достаточно сравнить всего два числа.

Разбор примера

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции $$y = 3x - \ln\big((x+3)^3\big)$$ на отрезке $[-2{,}5;\,0]$.

Шаг 1. Область определения. Нужно $x+3>0$, то есть $x>-3$. Весь отрезок $[-2{,}5;\,0]$ лежит в области определения — корни функции считать можно.

Шаг 2. Упрощение. По свойству логарифма степени: $$\ln\big((x+3)^3\big) = 3\ln(x+3).$$ Тогда функция принимает вид: $$y = 3x - 3\ln(x+3).$$

Шаг 3. Производная. $$y' = 3 - \frac{3}{x+3} = 3\cdot\frac{(x+3)-1}{x+3} = \frac{3(x+2)}{x+3}.$$

Шаг 4. Критические точки. Так как на отрезке $x+3>0$ (знаменатель положителен), знак производной определяется числителем $x+2$. Приравниваем к нулю: $$x+2=0 \;\Rightarrow\; x=-2.$$ Эта точка входит в отрезок $[-2{,}5;\,0]$.

Шаг 5. Характер точки. При $x<-2$ числитель $x+2<0$, значит $y'<0$ — функция убывает. При $x>-2$ числитель положителен, $y'>0$ — функция возрастает. Значит, $x=-2$ — точка минимума.

Шаг 6. Вычисление значений. $$y(-2) = 3(-2) - 3\ln(1) = -6 - 0 = -6.$$ $$y(-2{,}5) = 3(-2{,}5) - 3\ln(0{,}5) = -7{,}5 - 3\ln(0{,}5) \approx -7{,}5+2{,}08 = -5{,}42.$$ $$y(0) = 0 - 3\ln(3) \approx -3{,}30.$$

Шаг 7. Сравнение. Наименьшее из значений $-6;\,-5{,}42;\,-3{,}30$ равно $-6$.

Ответ: $-6$.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции $$y = \ln\big((x+5)^5\big) - 5x$$ на отрезке $[-4{,}5;\,0]$.

Шаг 1. Область определения. Требуется $x+5>0$, то есть $x>-5$. Весь отрезок подходит.

Шаг 2. Упрощение. $$\ln\big((x+5)^5\big) = 5\ln(x+5),$$ отсюда $$y = 5\ln(x+5) - 5x.$$

Шаг 3. Производная. $$y' = \frac{5}{x+5} - 5 = 5\cdot\frac{1-(x+5)}{x+5} = \frac{-5(x+4)}{x+5}.$$

Шаг 4. Критические точки. Знаменатель $x+5>0$ на всём отрезке, значит знак $y'$ определяется числителем $-5(x+4)$. Приравниваем к нулю: $$x+4=0 \;\Rightarrow\; x=-4,$$ и эта точка лежит в отрезке $[-4{,}5;\,0]$.

Шаг 5. Характер точки. При $x<-4$ выражение $-(x+4)>0$, значит $y'>0$ — функция возрастает. При $x>-4$ выражение $-(x+4)<0$, значит $y'<0$ — функция убывает. Значит, $x=-4$ — точка максимума.

Шаг 6. Вычисление значений. $$y(-4) = 5\ln(1) - 5(-4) = 0+20=20.$$ $$y(-4{,}5) = 5\ln(0{,}5) - 5(-4{,}5) \approx -3{,}47+22{,}5=19{,}03.$$ $$y(0) = 5\ln(5) - 0 \approx 8{,}05.$$

Шаг 7. Сравнение. Наибольшее из значений $20;\,19{,}03;\,8{,}05$ равно $20$.

Ответ: $20$.

Оба примера показывают одинаковую структуру: линейная часть плюс логарифм от степени скобки, упрощение через вынесение степени, простая производная вида $\dfrac{k(x-x_0)}{x+c}$ и единственная критическая точка внутри отрезка.

Типичные ошибки

Забывают про область определения. Если под логарифмом стоит выражение вида $x+a$, важно убедиться, что оно положительно на всём заданном отрезке — иначе функция там просто не определена, и разговор о её экстремумах бессмысленен. В экзаменационных задачах отрезок почти всегда подобран так, что попадает в область определения, но проверка должна стать автоматической привычкой.

Дифференцируют без предварительного упрощения. Если пытаться взять производную от $\ln((x+3)^3)$ напрямую, не вынося степень, легко ошибиться в цепном правиле: $$\big(\ln((x+3)^3)\big)' = \frac{3(x+3)^2}{(x+3)^3} = \frac{3}{x+3},$$ что в итоге даёт тот же результат, но через более громоздкие вычисления с большей вероятностью ошибки. Упрощение через $\ln(a^n)=n\ln a$ всегда безопаснее.

Путают знак производной и характер точки. После нахождения корня уравнения $y'=0$ часто забывают проверить, максимум это или минимум, и просто подставляют значение в функцию, считая его автоматически искомым экстремумом. Нужно обязательно смотреть знак производной слева и справа от критической точки или использовать вторую производную.

Не сравнивают критическую точку с концами отрезка. Даже если найдена точка минимума или максимума внутри отрезка, наибольшее/наименьшее значение всей функции на отрезке может оказаться на его границе — если, например, спрашивается наибольшее значение, а найденная критическая точка — минимум. Необходимо всегда считать значения во всех трёх точках: в критической точке и на обоих концах — и только потом сравнивать.

Ошибки в арифметике при вычислении логарифма от единицы. Полезно помнить, что $\ln 1 = 0$ — это часто встречается именно в критической точке (когда выражение под логарифмом обращается в единицу), и это заметно упрощает вычисления.

Неверно приводят к общему знаменателю. При составлении производной вида $k - \dfrac{m}{x+c}$ иногда допускают ошибку при объединении в одну дробь, теряя знак или множитель. Стоит выполнять это преобразование аккуратно, шаг за шагом, а не в уме.

На что обратить внимание на экзамене

При решении такой задачи на экзамене стоит придерживаться чёткого порядка действий, не пропуская шаги, даже если кажется, что ответ очевиден. Сначала — область определения, потом — упрощение выражения под логарифмом, только после этого — дифференцирование. Такой порядок экономит время и снижает риск вычислительной ошибки.

Полезно сразу выписывать производную в виде одной дроби $\dfrac{\text{число}\cdot(x - x_0)}{x+c}$ — в этом виде сразу видно, где меняется знак, и легко определить, где функция возрастает, а где убывает, без построения таблицы знаков на бумаге.

Стоит помнить, что в подобных задачах, как правило, единственная критическая точка на отрезке, и именно она даёт экстремум одного типа (либо максимум, либо минимум), а другой тип экстремума нужно искать среди значений на концах отрезка. Понимание этой закономерности помогает быстро проверить, логичен ли полученный ответ.

Наконец, при вычислении значений на концах отрезка не нужно бояться приближённых десятичных значений логарифмов — в большинстве заданий такого типа ответ получается целым числом именно в критической точке, а значения на концах отрезка используются только для сравнения и обычно оказываются нецелыми. Если после всех вычислений наибольшее или наименьшее значение получилось не в критической точке, а на конце отрезка, стоит перепроверить знаки производной — вероятно, где-то допущена ошибка.