Задача 77491. Исследование показательных и логарифмических функций

Чтобы найти точку минимума, нужно исследовать функцию с помощью производной.

Шаг 1. Найдём производную.

Для функции $y = 2x^2 - 5x + \ln x - 3$ берём производную каждого слагаемого:

• Производная $2x^2$ равна $4x$
• Производная $-5x$ равна $-5$
• Производная $\ln x$ равна $\frac{1}{x}$
• Производная константы $-3$ равна $0$

Получаем: $y' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0$$

Умножим обе части на $x$ (при $x > 0$, так как область определения требует $x > 0$ для логарифма): $$4x^2 - 5x + 1 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение: $$4x^2 - 5x + 1 = (4x - 1)(x - 1) = 0$$

Следовательно: $x = 1$ или $x = \frac{1}{4}$

Шаг 3. Определим тип экстремумов.

Проверим знак производной на интервалах:

• При $0 < x < \frac{1}{4}$: берём $x = 0{,}1$, получаем $y' = 0{,}4 - 5 + 10 = 5{,}4 > 0$ — функция возрастает
• При $\frac{1}{4} < x < 1$: берём $x = 0{,}5$, получаем $y' = 2 - 5 + 2 = -1 < 0$ — функция убывает
• При $x > 1$: берём $x = 2$, получаем $y' = 8 - 5 + 0{,}5 = 3{,}5 > 0$ — функция возрастает

В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.