Задача 526012. Исследование показательных и логарифмических функций

Область определения: функция содержит натуральный логарифм, поэтому определена при $x > 0$.

Вычислим производную: $$y' = 4x - 25 + \frac{39}{x}$$

Приводим к общему знаменателю: $$y' = \frac{4x^2 - 25x + 39}{x}$$

Найдём критические точки: приравняем числитель производной к нулю: $$4x^2 - 25x + 39 = 0$$

По теореме Виета или формуле корней: $x_1 = 3$ и $x_2 = 3,25$.

Анализ знаков производной:

• При $0 < x < 3$: оба множителя в числителе отрицательны, произведение положительно → $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $3 < x < 3,25$: первый множитель положителен, второй отрицателен → $y' < 0$ (функция убывает)
• При $x > 3,25$: оба множителя положительны → $y' > 0$ (функция возрастает)

Определение экстремумов: в точке $x = 3$ производная меняет знак с плюса на минус, это признак максимума. В точке $x = 3,25$ производная меняет знак с минуса на плюс, это минимум.

Ответ: точка максимума $x = 3$.