Задача 26717. Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 8\ln(x+7) - 8x + 3$.

Производная: $y' = \frac{8}{x+7} - 8$.

Это следует из того, что производная логарифма $\ln(x+7)$ равна $\frac{1}{x+7}$, а производная $-8x$ равна $-8$.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$\frac{8}{x+7} - 8 = 0$$ $$\frac{8}{x+7} = 8$$ $$\frac{1}{x+7} = 1$$ $$x + 7 = 1$$ $$x = -6$$

Точка $x = -6$ лежит на отрезке $[-6,5; 0]$, поэтому она является кандидатом на экстремум.

Шаг 3. Определим характер экстремума.

Проверим знак производной слева и справа от $x = -6$:

• При $x < -6$: выражение $x + 7 < 1$, поэтому $\frac{8}{x+7} > 8$, значит $y' > 0$ (функция возрастает).
• При $x > -6$: выражение $x + 7 > 1$, поэтому $\frac{8}{x+7} < 8$, значит $y' < 0$ (функция убывает).

Производная меняет знак с плюса на минус, значит $x = -6$ — точка максимума.

Шаг 4. Вычислим значения на отрезке.

Наибольшее значение находится либо в критической точке, либо на концах отрезка. Проверим:

$y(-6) = 8\ln(1) - 8(-6) + 3 = 8 \cdot 0 + 48 + 3 = 51$

Так как в $x = -6$ максимум, а функция убывает после этой точки до конца отрезка, наибольшее значение на отрезке — это 51.