Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 3x - \ln(x+3)^3$.

Преобразуем логарифм: $\ln(x+3)^3 = 3\ln(x+3)$, поэтому $y = 3x - 3\ln(x+3)$.

Производная: $y' = 3 - 3 \cdot \frac{1}{x+3} = 3 - \frac{3}{x+3}$.

Шаг 2. Найдём критические точки на отрезке $[-2,5; 0]$.

Приравняем производную к нулю: $$3 - \frac{3}{x+3} = 0$$

$$3 = \frac{3}{x+3}$$

$$1 = \frac{1}{x+3}$$

$$x + 3 = 1$$

$$x = -2$$

Точка $x = -2$ лежит на отрезке $[-2,5; 0]$.

Шаг 3. Определим характер критической точки.

Проверим знак производной:

• При $x \in [-2,5; -2)$: возьмём $x = -2,4$, тогда $y' = 3 - \frac{3}{0,6} = 3 - 5 = -2 < 0$ (функция убывает).
• При $x \in (-2; 0]$: возьмём $x = -1$, тогда $y' = 3 - \frac{3}{2} = 1,5 > 0$ (функция возрастает).

В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума.

Шаг 4. Вычислим значение функции в точке минимума.

$$y(-2) = 3 \cdot (-2) - \ln(-2+3)^3 = -6 - \ln(1)^3 = -6 - 0 = -6$$

Так как функция убывает на $[-2,5; -2]$ и возрастает на $[-2; 0]$, наименьшее значение на отрезке достигается в точке $x = -2$.