Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование показательных и логарифмических функций

Исследуем функцию $y = \ln(11x) - 11x + 9$ на отрезке $\left[\frac{1}{22}; \frac{5}{22}\right]$.

Шаг 1: Найдём производную.

Применяем правило дифференцирования логарифма и линейных членов: $$y' = \frac{1}{11x} \cdot 11 - 11 = \frac{1}{x} - 11$$

Производная получена через формулу $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, где $u = 11x$.

Шаг 2: Найдём критические точки на отрезке.

Приравниваем производную к нулю: $$\frac{1}{x} - 11 = 0$$ $$\frac{1}{x} = 11$$ $$x = \frac{1}{11}$$

Проверим, принадлежит ли точка отрезку: $\frac{1}{22} < \frac{1}{11} < \frac{5}{22}$ ✓ (так как $\frac{1}{11} = \frac{2}{22}$). Критическая точка внутри отрезка.

Шаг 3: Определим характер точки.

Проанализируем знак $y'$:

• При $x < \frac{1}{11}$: $\frac{1}{x} > 11$, значит $y' > 0$ (функция возрастает).
• При $x > \frac{1}{11}$: $\frac{1}{x} < 11$, значит $y' < 0$ (функция убывает).

Точка $x = \frac{1}{11}$ — максимум функции на отрезке.

Шаг 4: Вычислим наибольшее значение.

Подставляем $x = \frac{1}{11}$ в исходную функцию: $$y\left(\frac{1}{11}\right) = \ln\left(11 \cdot \frac{1}{11}\right) - 11 \cdot \frac{1}{11} + 9$$ $$= \ln(1) - 1 + 9$$ $$= 0 - 1 + 9 = 8$$