Задача 26718. Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 9x - \ln(9x) + 3$.

Производная: $$y' = 9 - \frac{1}{9x} \cdot 9 = 9 - \frac{1}{x}$$

Здесь использовано правило: производная $\ln(u)$ равна $\frac{u'}{u}$, где $u = 9x$.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$9 - \frac{1}{x} = 0$$ $$\frac{1}{x} = 9$$ $$x = \frac{1}{9}$$

Проверим, принадлежит ли эта точка отрезку $\left[\frac{1}{18}, \frac{5}{18}\right]$: $$\frac{1}{18} < \frac{1}{9} = \frac{2}{18} < \frac{5}{18}$$ ✓

Шаг 3. Определим тип экстремума.

Анализируем знаки производной:

• При $x < \frac{1}{9}$: $y' = 9 - \frac{1}{x} < 0$ (функция убывает)
• При $x > \frac{1}{9}$: $y' = 9 - \frac{1}{x} > 0$ (функция возрастает)

В точке $x = \frac{1}{9}$ производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому здесь минимум.

Шаг 4. Вычислим значение функции в точке минимума.

$$y\left(\frac{1}{9}\right) = 9 \cdot \frac{1}{9} - \ln\left(9 \cdot \frac{1}{9}\right) + 3 = 1 - \ln(1) + 3 = 1 - 0 + 3 = 4$$

Наименьшее значение функции на отрезке — 4.