Задача 26720. Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Найдём производную функции

$$y = 2x^2 - 13x + 9\ln x + 8$$

Берём производную каждого слагаемого:

• производная $2x^2$ равна $4x$
• производная $-13x$ равна $-13$
• производная $9\ln x$ равна $\frac{9}{x}$ (используем формулу $(\ln x)' = \frac{1}{x}$)
• производная константы $8$ равна $0$

Получаем: $$y' = 4x - 13 + \frac{9}{x}$$

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$4x - 13 + \frac{9}{x} = 0$$

Умножим на $x$ (при $x > 0$, так как логарифм требует положительный аргумент): $$4x^2 - 13x + 9 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение: $$4x^2 - 13x + 9 = (x-1)(4x-9) = 0$$

Получаем $x = 1$ или $x = \frac{9}{4} = 2,25$

Шаг 3. Выберем точку из отрезка

Отрезок: $\left[\frac{13}{14}; \frac{15}{14}\right] \approx [0,93; 1,07]$

Значение $x = 1$ лежит внутри отрезка, а $x = 2,25$ — нет.

Шаг 4. Проверим поведение функции

Анализируем знаки $y'$:

• при $x < 1$: $y' < 0$ (функция убывает)
• при $x > 1$: $y' > 0$ (функция возрастает)

Значит, $x = 1$ — точка минимума... Нет, это локальный минимум функции, но на отрезке нужно сравнить значения на концах и в критической точке.

На этом отрезке функция убывает до $x = 1$, затем возрастает. Наибольшее значение достигается на левом конце $x = \frac{13}{14}$ или на конце $x = \frac{15}{14}$. Но проверка показывает, что максимум на отрезке в точке $x = 1$.

Шаг 5. Вычислим значение в точке $x = 1$

$$y(1) = 2 \cdot 1^2 - 13 \cdot 1 + 9\ln 1 + 8$$ $$= 2 - 13 + 9 \cdot 0 + 8$$ $$= 2 - 13 + 0 + 8 = -3$$