Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Найдём производную

Для функции $y = 4x^2 - 10x + 2\ln x - 5$ берём производную каждого слагаемого:

• производная $4x^2$ равна $8x$
• производная $-10x$ равна $-10$
• производная $2\ln x$ равна $\frac{2}{x}$ (по формуле производной логарифма)
• производная константы $-5$ равна $0$

Получаем: $y' = 8x - 10 + \frac{2}{x}$

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$8x - 10 + \frac{2}{x} = 0$$

Умножим обе части на $x > 0$: $$8x^2 - 10x + 2 = 0$$ $$4x^2 - 5x + 1 = 0$$

По формуле Виета или через дискриминант: $x = 1$ или $x = 0,25$.

На отрезке $[0,3; 3]$ лежит только $x = 1$ (точка $x = 0,25$ левее границы $0,3$).

Шаг 3. Определим характер экстремума

Проверим знак производной слева и справа от $x = 1$:

• при $x = 0,5$: $y' = 4 - 10 + 4 = -2 < 0$ (убывает)
• при $x = 2$: $y' = 16 - 10 + 1 = 7 > 0$ (возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.

Шаг 4. Вычислим значение в точке минимума

$$y(1) = 4(1)^2 - 10(1) + 2\ln 1 - 5 = 4 - 10 + 0 - 5 = -11$$

Это и есть наименьшее значение функции на отрезке.