Задача 315127. Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Найдём производную.

Дана функция $y = e^{2x} - 6e^x + 3$.

Производная: $y' = 2e^{2x} - 6e^x$.

Вынесем общий множитель: $y' = 2e^x(e^x - 3)$.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$2e^x(e^x - 3) = 0$$

Поскольку $e^x > 0$ при всех $x$, имеем $e^x - 3 = 0$, откуда $e^x = 3$, то есть $x = \ln 3$.

Шаг 3. Проверим, лежит ли критическая точка в отрезке $[1; 3]$.

Знаем, что $\ln 3 \approx 1{,}1$, поэтому $\ln 3 \in [1; 3]$.

Шаг 4. Определим характер экстремума.

При $x < \ln 3$ имеем $e^x < 3$, так что $e^x - 3 < 0$ и $y' < 0$ (функция убывает).

При $x > \ln 3$ имеем $e^x > 3$, так что $e^x - 3 > 0$ и $y' > 0$ (функция возрастает).

Следовательно, $x = \ln 3$ — точка минимума на отрезке.

Шаг 5. Вычислим значение функции в точке минимума.

Применим свойство $e^{\ln a} = a$: $$y(\ln 3) = e^{2\ln 3} - 6e^{\ln 3} + 3 = (e^{\ln 3})^2 - 6 \cdot 3 + 3 = 3^2 - 18 + 3 = 9 - 18 + 3 = -6$$