Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 4x - 4\ln(x + 7) + 6$.

Производная: $y' = 4 - \frac{4}{x+7}$

Производная константы равна нулю, производная линейной функции $4x$ равна $4$, а производная логарифма $4\ln(x+7)$ равна $\frac{4}{x+7}$ по правилу дифференцирования сложной функции.

Шаг 2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю.

$4 - \frac{4}{x+7} = 0$

$4 = \frac{4}{x+7}$

$x + 7 = 1$

$x = -6$

Точка $x = -6$ лежит в отрезке $[-6{,}5; 0]$, поэтому она является кандидатом на экстремум.

Шаг 3. Определим характер критической точки.

Проверим знак производной слева и справа от $x = -6$:

• При $x < -6$ (например, $x = -6{,}3$): $y' = 4 - \frac{4}{0{,}7} < 0$ (производная отрицательна)
• При $x > -6$ (например, $x = -5$): $y' = 4 - \frac{4}{2} = 2 > 0$ (производная положительна)

Производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.

Шаг 4. Сравним значения на концах отрезка и в критической точке.

Вычислим $y(-6) = 4 \cdot (-6) - 4\ln(1) + 6 = -24 - 0 + 6 = -18$

Поскольку $x = -6$ — точка минимума на отрезке, наименьшее значение функции равно $-18$.