Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование показательных и логарифмических функций

Исследуем функцию $y = \ln(x+5)^5 - 5x$ на отрезке $[-4,5; 0]$.

Шаг 1. Упрощение и нахождение производной

Преобразуем функцию, используя свойство логарифма: $y = 5\ln(x+5) - 5x$.

Найдём производную: $$y' = 5 \cdot \frac{1}{x+5} - 5 = \frac{5}{x+5} - 5$$

Шаг 2. Поиск критических точек

Приравняем производную к нулю: $$\frac{5}{x+5} - 5 = 0$$ $$\frac{5}{x+5} = 5$$ $$\frac{1}{x+5} = 1$$ $$x + 5 = 1$$ $$x = -4$$

Точка $x = -4$ принадлежит отрезку $[-4,5; 0]$.

Шаг 3. Анализ знака производной

При $x \in [-4,5; -4)$: $x+5 < 1$, поэтому $\frac{1}{x+5} > 1$, значит $y' > 0$ — функция возрастает.

При $x \in (-4; 0]$: $x+5 > 1$, поэтому $\frac{1}{x+5} < 1$, значит $y' < 0$ — функция убывает.

В точке $x = -4$ функция имеет максимум.

Шаг 4. Вычисление наибольшего значения

$$y(-4) = 5\ln(-4+5) - 5 \cdot (-4) = 5\ln(1) + 20 = 5 \cdot 0 + 20 = 20$$