Задача 26721. Исследование показательных и логарифмических функций

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно найти критические точки внутри отрезка и сравнить значения функции в этих точках и на концах.

Шаг 1: Найдём производную

Для функции $y = 2x^2 - 5x + \ln x - 3$ берём производную каждого слагаемого: $$y' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$$

Производная логарифма $\ln x$ даёт $\frac{1}{x}$ — это табличная формула.

Шаг 2: Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0$$

Умножим на $x$ (он положительный на нашем отрезке): $$4x^2 - 5x + 1 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8}$$

Получаем $x = 1$ или $x = \frac{1}{4}$.

Шаг 3: Проверим, какая точка лежит в отрезке $\left[\frac{5}{6}; \frac{7}{6}\right]$

$\frac{1}{4} = 0,25$ — слишком мало, не входит в отрезок.

$x = 1$ — проверим: $\frac{5}{6} \approx 0,833$, $\frac{7}{6} \approx 1,167$. Да, $1$ входит в отрезок.

Шаг 4: Определим характер экстремума

Производная $y' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$ при $x < 1$ отрицательна (функция убывает), при $x > 1$ положительна (функция возрастает). Значит, в точке $x = 1$ — минимум.

Шаг 5: Вычислим наименьшее значение

$$y(1) = 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + \ln 1 - 3 = 2 - 5 + 0 - 3 = -6$$

(учли, что $\ln 1 = 0$)