Задача 77490. Исследование показательных и логарифмических функций

Исходная функция: $y = 2x^2 - 13x + 9\ln x + 8$

Шаг 1. Область определения. Поскольку присутствует натуральный логарифм, нужно $x > 0$. Область определения: $(0; +\infty)$.

Шаг 2. Находим производную. Дифференцируем по частям:

• Производная от $2x^2$ равна $4x$
• Производная от $-13x$ равна $-13$
• Производная от $9\ln x$ равна $\frac{9}{x}$
• Производная константы равна 0

Получаем: $y' = 4x - 13 + \frac{9}{x}$

Шаг 3. Находим критические точки. Приравниваем производную к нулю: $$4x - 13 + \frac{9}{x} = 0$$

Умножаем обе части на $x$ (так как $x > 0$): $$4x^2 - 13x + 9 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение: $(4x - 9)(x - 1) = 0$

Получаем два корня: $x = 1$ и $x = \frac{9}{4} = 2{,}25$

Оба корня принадлежат области определения.

Шаг 4. Определяем знаки производной.

• При $0 < x < 1$: выберем $x = 0{,}5$, получим $y' = 2 - 13 + 18 = 7 > 0$ → функция возрастает
• При $1 < x < 2{,}25$: выберем $x = 2$, получим $y' = 8 - 13 + 4{,}5 = -0{,}5 < 0$ → функция убывает
• При $x > 2{,}25$: выберем $x = 3$, получим $y' = 12 - 13 + 3 = 2 > 0$ → функция возрастает

Шаг 5. Вывод. В точке $x = 1$ производная меняет знак с плюса на минус — это точка локального максимума.