Задача 510847. Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Область определения

Функция $y=0,5x^2 - 7x + 12\ln x + 8$ определена только при $x > 0$, так как логарифм требует положительного аргумента.

Шаг 2. Находим производную

Дифференцируем каждое слагаемое:

• Производная $0,5x^2$ это $x$
• Производная $-7x$ это $-7$
• Производная $12\ln x$ это $\frac{12}{x}$
• Производная константы $8$ это $0$

Получаем: $y' = x - 7 + \frac{12}{x}$

Шаг 3. Приравниваем производную к нулю

$x - 7 + \frac{12}{x} = 0$

Умножаем обе части на $x > 0$:

$x^2 - 7x + 12 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант:

$x = 3$ или $x = 4$

Шаг 4. Определяем характер критических точек

Анализируем знаки производной на интервалах $(0; 3)$, $(3; 4)$, $(4; +\infty)$:

• При $x = 1$: $y' = 1 - 7 + 12 = 6 > 0$ → функция растёт
• При $x = 3,5$: $y' = 3,5 - 7 + \frac{12}{3,5} ≈ -3,5 + 3,43 < 0$ → функция убывает
• При $x = 5$: $y' = 5 - 7 + 2,4 = 0,4 > 0$ → функция растёт

Производная меняет знак с плюса на минус при переходе через $x = 3$, а с минуса на плюс при $x = 4$.

Шаг 5. Вывод

При $x = 3$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это точка максимума функции.