Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Упростим функцию.

Получаем $y = 3x - \ln(x+3)^3 = 3x - 3\ln(x+3)$ по свойству логарифма степени.

Шаг 2. Найдём область определения.

Для логарифма нужно $x + 3 > 0$, откуда $x \in (-3; +\infty)$.

Шаг 3. Найдём производную.

Дифференцируем: $y' = 3 - \frac{3}{x+3}$. Производная логарифма — это дробь, где в знаменателе аргумент функции, а в числителе производная аргумента.

Шаг 4. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$3 - \frac{3}{x+3} = 0$$ $$3 = \frac{3}{x+3}$$ $$x + 3 = 1$$ $$x = -2$$

Точка $x = -2$ лежит в области определения.

Шаг 5. Определим характер критической точки.

Проверим знаки производной по соседству с $x = -2$:

• При $x \in (-3; -2)$: возьмём $x = -2{,}5$. Тогда $y' = 3 - \frac{3}{0{,}5} = 3 - 6 = -3 < 0$ (функция убывает).
• При $x \in (-2; +\infty)$: возьмём $x = 0$. Тогда $y' = 3 - \frac{3}{3} = 3 - 1 = 2 > 0$ (функция возрастает).

Производная меняет знак с минуса на плюс, значит $x = -2$ — точка минимума.