Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Определим область определения

Для функции $y=8\ln(x+7)-8x+3$ нужно, чтобы аргумент логарифма был положительным: $x+7>0$, откуда $x>-7$. Область определения: $(-7; +\infty)$.

Шаг 2. Найдём производную

Это сумма трёх слагаемых:

• Производная $8\ln(x+7)$ по правилу цепочки: $8 \cdot \frac{1}{x+7} = \frac{8}{x+7}$
• Производная $-8x$ равна $-8$
• Производная константы 3 равна 0

Итого: $y' = \frac{8}{x+7} - 8$

Шаг 3. Найдём критические точки

Приравниваем производную к нулю: $$\frac{8}{x+7} - 8 = 0$$ $$\frac{8}{x+7} = 8$$ $$8 = 8(x+7)$$ $$1 = x+7$$ $$x = -6$$

Точка $x=-6$ лежит в области определения (так как $-6 > -7$).

Шаг 4. Определим характер точки

Проверим знак производной слева и справа от критической точки:

• При $x \in (-7; -6)$: выберем $x=-6.5$. Тогда $y' = \frac{8}{0.5} - 8 = 16 - 8 = 8 > 0$ (функция возрастает)
• При $x \in (-6; +\infty)$: выберем $x=0$. Тогда $y' = \frac{8}{7} - 8 < 0$ (функция убывает)

Производная меняет знак с плюса на минус, значит $x=-6$ — точка максимума.