Задача 26722. Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Найдём область определения.

Для функции $y = \ln(x+5) - 2x + 9$ логарифм определён, когда $x + 5 > 0$, то есть $x > -5$. Область определения: $(-5; +\infty)$.

Шаг 2. Вычислим производную.

Производная логарифма: $(\ln(x+5))' = \frac{1}{x+5}$

Производная линейной функции: $(-2x)' = -2$

Постоянная даёт нуль: $(9)' = 0$

Следовательно: $y' = \frac{1}{x+5} - 2$

Шаг 3. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{x+5} - 2 = 0$$

$$\frac{1}{x+5} = 2$$

$$x + 5 = \frac{1}{2}$$

$$x = -4,5$$

Шаг 4. Определим характер экстремума.

Анализируем знак производной $y' = \frac{1}{x+5} - 2$:

— При $-5 < x < -4,5$: знаменатель $x+5 < 0,5$, поэтому $\frac{1}{x+5} > 2$, тогда $y' > 0$ (функция возрастает)

— При $x > -4,5$: знаменатель $x+5 > 0,5$, поэтому $\frac{1}{x+5} < 2$, тогда $y' < 0$ (функция убывает)

Производная меняет знак с плюса на минус, значит $x = -4,5$ — точка максимума.