ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование показательных и логарифмических функций

Задача 77487. Исследование показательных и логарифмических функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите точку максимума функции y= натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 5x.

В подтеме 22 задач
Разбор
Главная идея: Упрощение логарифма степени, вычисление производной и анализ её знака слева и справа от критической точки определяют характер экстремума.

Шаг 1. Упростим функцию, используя свойство логарифма

Дано: y=ln⁡(x+5)5−5xy = \ln(x+5)^5 - 5x

По свойству логарифма степени: ln⁡an=nln⁡a\ln a^n = n\ln a

Получаем: y=5ln⁡(x+5)−5xy = 5\ln(x+5) - 5x

Область определения: x>−5x > -5

Шаг 2. Найдём производную

Производная логарифма: (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \frac{u'}{u}

y′=5⋅1x+5−5=5x+5−5y' = 5 \cdot \frac{1}{x+5} - 5 = \frac{5}{x+5} - 5

Шаг 3. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю:

5x+5−5=0\frac{5}{x+5} - 5 = 0

5x+5=5\frac{5}{x+5} = 5

5=5(x+5)5 = 5(x+5)

1=x+51 = x + 5

x=−4x = -4

Шаг 4. Проверим знак производной

При −5<x<−4-5 < x < -4: подставим x=−4,5x = -4{,}5: y′=50,5−5=10−5=5>0y' = \frac{5}{0{,}5} - 5 = 10 - 5 = 5 > 0 (функция возрастает)

При x>−4x > -4: подставим x=0x = 0: y′=55−5=1−5=−4<0y' = \frac{5}{5} - 5 = 1 - 5 = -4 < 0 (функция убывает)

Производная меняет знак с плюса на минус, значит в точке x=−4x = -4 функция имеет максимум.

Типичные ошибки

  • Забыли применить свойство логарифма степени и пытались дифференцировать исходное выражение напрямую
  • Найденную критическую точку не проверили через анализ знаков производной и неправильно определили тип экстремума
  • Ошибка в области определения: решали задачу без учета, что x>−5x > -5

Похожие задачи (другие числа)